Et la relation suivante apparaît : 369 = ( 8 x 45 ) + 9. Je tenais à vous remercier et de pouvoir bénéficier, aussi de votre don si précieux. On remplit cette grille avec la série «  0, 1, 2, 3 », en nombre égal dans chaque ligne et chaque colonne, de façon à avoir 3p = 27 (p étant la constante du carré papal, égale à 9) comme constante linéaire. Voici une solution ci-dessus, parmi d’autres. 12 Cette Méthode de duplication du carré magique, dite « Méthode des quatre carrés », est donnée et expliquée en détail dans René Descombes, Les Carrés magiques, Éditions Vuibert, 2ème édition, 2000 (494 p.), p. 359-361. Les sommes des termes de ces 9 sous-carrés forment à leur tour un carré semi-magique d’ordre 3, de constante linéaire M’3= 17 550 ; les deux diagonales principales ne sont pas magiques, mais leur somme est égale à 2 M’3 : 17 505 + 17 595 = 35 100. http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-1.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-2.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-3.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-4.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-5.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-6.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-7.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-8.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-9.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-10.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-11.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-12.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-13.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-14.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-15.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-16.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-17.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-18.png, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-19.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-20.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-21.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-22.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-23.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-24.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-25.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-26.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-27.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-28.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-29.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-30.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-31.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-32.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-33.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-34.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-35.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-36.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-37.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-38.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-39.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-40.jpg, http://journals.openedition.org/bibnum/docannexe/image/566/img-41.jpg, Licence Creative Commons Attribution - Partage dans les Mêmes Conditions 4.0 International, Catalogue des 546 revues. On ne peut pas se tromper : on remplit ainsi une diagonale brisée après l’autre, dans toute la grille. à g. ci-dessous : 5 à 6, 10 à 11, 15 à 16, 20 à 21).

6 est la racine digitale de 645. Elle fut envoyée par ce Pape à Charlemagne, Roi de France et Empereur d'Occident. 6On peut d’ailleurs faire une remarque analogue à propos des grilles carrées centrées d’ordre n = 5 et n = 7, qui sont « magiques » sur leurs médianes et diagonales. 57On pourrait envisager de compléter ces manipulations par l’élévation au carré du carré papal, c’est-à-dire faire le produit du carré papal par lui-même. D�z��a �p��V$ ������.4�d`����)�@� �&s 70Ceci correspond bien aussi au reste r = 6, avec d = 71  dans la relation N = 9 d + r : 645 = (9 x 71 ) + 6, 71Appliquons donc cette réduction aux termes du carré magique papal : on obtient une curieuse grille « magique », de somme linéaire constante M’9 = 45 (ci-dessus). On dit aussi de ces deux carrés magiques qu’ils sont jumeaux. 33Voici une application, qui conduit bien à un carré magique normal de type papal, M9 = 369 : case-départ n° 22 du carré naturel d’ordre n = 9 ; marche principale diagonale vers le haut et à gauche ; saut secondaire orthogonal : 2 cases à droite. 4Tout d’abord c’est un carré magique de type associé : la somme des termes complémentaires3 est constante et égale à la constante de polarisation S (dénomination du général Cazalas, 1934), qui est elle-même égale à S = n2 + 1, soit S = 82 dans le cas qui nous occupe. 43On peut toujours paver une grille carrée d’ordre n, avec n polyminos d’ordre n, identiques ou bien différents. † Que la Croix de Jésus-Christ me délivre de tout péril, tant présent qu'à venir. Ces progressions sont interrompues dans les diagonales intermédiaires, pour reprendre à partir d’un autre nombre, mais toujours avec la même raison r = 9. La Loubère était, entre autres, mathématicien : il a laissé un ouvrage posthume De la résolution des équations, ou de l’extraction de leurs racines, publié en 1732.

64Les mosaïques magiques ont été inventées par Bernard Gervais14. Saint Léon Le Grand, Basilique Saint-Paul-hors-les-Murs . Prière très efficace de Sa Sainteté le Pape Léon III Elle fut envoyée par ce Pape à Charlemagne, Roi de France et Empereur d'Occident. Les sommes des 9 termes de chaque sous-carré forment alors un carré magique d’ordre n = 6, de constante linéaire M6 = 8 775, dans les lignes, les colonnes et les deux diagonales principales. Pape Léon XIII. 30On constate immédiatement que les cycles ci-dessus, sur diagonales brisées, correspondent à des permutations figurées : ces neuf permutations figurées (1-9 en saumon, 10-18 en jaune,… 73-81 en bistre) remplissent toutes la grille.

† Que la Croix de Jésus-Christ soit pour moi † un merveilleux signe. 14 Gervais a particulièrement étudié les mosaïques magiques d’ordre 5, dans son ouvrage Les carrés magiques de 5, Éditions Eyrolles, 1998, 195 pp. On part de la case numérotée « 1 », juste au-dessous de la case centrale (n° 50 du carré naturel correspondant), en procédant aux reports habituels lorsque l’on tombe en dehors de la grille, et l’on saute une case vers le bas en fin de cycle, après 9 sauts : soit dans ce premier cycle, après le 9, on poursuit par le 10, en sautant une case vers le bas.